7 ปัญหาคณิตศาสตร์ที่แก้ไม่ได้

คำถามที่1.ก็คือ จริงหรือไม่ที่ งานในรูปแบบ NP ง่ายเหมือนงานในรูปแบบ P

ปัญหา P vs NP จึงเป็นเหมือนคำถามซ้อนคำถาม เพราะ P และ NP เองที่จริงก็คือรูปแบบของคำถามนี่เอง นักวิจัยส่วนที่เชื่อว่า P=NP จะพยายามหาวิธีแก้ปัญหาในรูปแบบ NP ให้เร็วขึ้น หากทำได้จริง คอมพิวเตอร์จะสามารถทำงานได้เร็วขึ้น ระบบอินเตอร์เนตและเครือข่ายสัญญาณทุกรูปแบบจะมีวิธีปรับปรุงใหม่ โรงงาน อุตสาหกรรมจะถูกออกแบบให้มีประสิทธิภาพมากขึ้น เส้นทางเดินเรือและระบบส่งสินค้าจะได้รับการพัฒนา

เสน่ห์อย่างหนึ่ง ของโจทย์ปัญหาข้อนี้ก็คือ หาก P=NP จริง การพิสูจน์ว่า P=NP จะสามารถทำได้โดยใช้ความคิดสร้างสรรค์ล้วนๆไม่ต้องใช้คณิตศาสตร์เลย หากจะมีเด็กประถมสมองใส หาวิธีการทำงานหนึ่งงานใดในรูปแบบ NP-complete ให้เสร็จอย่างรวดเร็วได้ ก็จะได้ชื่อว่าพิชิตปัญหา P vs NP แล้ว จะอย่างไรก็ดี แม้แต่ผู้เชี่ยวชาญที่ทุ่มเทเวลาให้กับงานวิจัยก็ยังไม่พบวิธีแก้ปัญหาเหล่า นั้น

2.Poincare Conjecture

ในปี 1904 พอย์นคาเร่ ได้ตีพิมพ์ผลงานวิจัยเกี่ยวกับ คุณสมบัติของรูปทรง และมิติสัมพันธ์ขึ้นมาฉบับหนึ่ง ในตอนท้ายของรายงายฉบับนั้น มีข้อติดข้องประการหนึ่งที่พอย์นคาเร่หาคำตอบไม่ได้ จนพอย์นคาเร่เสียชีวิต และนักคณิตศาสตร์หลายต่อหลายคนพยายามหาคำตอบให้กับปัญหานั้น แต่ไม่มีใครทำสำเร็จ ปัญหานั้นจึงได้รับการขนานนามว่า Poincare Conjecture แปลห้วนๆก็คือ ข้อคาดเดาของพอย์นคาเร่ นั่นเอง

Poincare Conjecture เป็นคำถามเกี่ยวกับรูปทรงในสี่มิติ หากจะลองจินตนาการถึงผลส้ม ถ้าเอายางหนังสติ๊กไปรัดผลส้มไว้ ก็แน่นอนว่าหนังสติ๊กจะกระเด็นออกมาได้โดยที่ผลส้มยังคงทรงรูปร่างเดิม แต่หากจะจินตนาการใหม่ถึงโดนัท ถ้าเอายางหนังสติ๊กไปร้อยผ่านรูของโดนัทไว้ ก็เป็นไปไม่ได้ที่หนังสติ๊กจะกระเด็นออกมาโดยที่โดนัทยังทรงรูปร่างเดิม จึงกล่าวได้ว่าผลส้มและโดนัทมีความแตกต่างกันในเชิงมิติสัมพันธ์
คำถามที่สองก็คือ รูปทรงในมิติที่สี่ที่มีคุณสมบัติแบบผลส้มมีอะไรบ้าง

ในสายตาของนักฟิสิกส์แล้ว มิติที่สี่ไม่ได้เป็นแค่จินตนาการไร้สาระ ลูกโลกมีลักษณะเป็นทรงกลมสามมิติ แต่เพราะเราซึ่งมีขนาดเล็กกว่าโลกมากและอาศัยอยู่บนพื้นผิวของโลก ในสมัยก่อนคนเราจึงเชื่อว่าโลกแบน จนต่อมานักดาราศาสตร์จึงได้คำนวนพิสูจน์ว่าโลกกลม ในทำนองเดียวกัน ก็มีความเป็นไปได้ว่าอันที่จริงจักรวาลอาจจะมีสี่มิติ แต่เพราะเราอาศัยอยู่บนพื้นผิวของจักรวาล จักรวาลจึงปรากฏกับเราว่ามีแค่สามมิติ

3.Riemann Hypothesis

Riemann Hypothesis หรือสมมุติฐานของรีมันน์ อาจจะเป็นปัญหาที่อายุยืนที่สุดในเจ็ดข้อ และเป็นหนึ่งในปัญหาของฮิลเบอร์ ตในปี 1900 ที่หลงเหลือมาจนทุกวันนี้ ถ้าจะว่าให้เข้าใจง่ายที่สุด Riemann Hypothesis ก็เป็นโจทย์แก้สมการดีๆนี่เอง

รีมันน์ได้ศึกษาฟังก์ชันตัวหนึ่งซึ่งมีชื่อว่า zeta function และมีนิยามบนจำนวนที่มากกว่า 1 ว่าzeta function มีความสัมพันธ์โดยตรงกับจำนวนเฉพาะ (จำนวนที่แยกตัวประกอบไม่ได้ เช่น 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,...) ไม่มีใครรู้สูตรสำเร็จในการหาค่าจำนวนเฉพาะ แต่บทพิสูจน์ของ Riemann Hypothesis จะมีประโยชน์ในการศึกษาการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ หากจะถามว่าทำไมต้องศึกษาการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ? คำตอบก็คือเพราะจำนวนเฉพาะเป็นกระดูกสันหลังของระบบรหัสที่ใช้ในการสื่อสาร ทุกวันนี้ หากไม่มีการศึกษาเรื่องจำนวนเฉพาะมาก่อน อินเตอร์เนตจะไม่มีความปลอดภัยเลย อีเมลจะถูกแฮคได้ทุกเมื่อ ความลับของบริษัทจะถูกโจมตีเมื่อไหร่ก็ได้

จนถึงทุกวันนี้ นักคณิตศาสตร์ได้ใช้ซุปเปอร์คอมพิวเตอร์หาคำตอบของสมการเป็นล้านๆค่าแล้ว แต่ก็ไม่พบค่าใดที่ขัดแย้งกับ Riemann Hypothesis

4.Navier-Stokes Equations

ท่ามกลางปรากฏการณ์ธรรมดาๆอย่างเช่น กระแสน้ำในทะเล คลื่นจากท้ายเรือข้ามฟาก ควันธูปที่ลอยไปในอากาศ ทิศทางของก้อนเมฆ ก็ยังมีสิ่งที่นักวิทยาศาสตร์ไม่รู้ไม่เข้าใจแฝงอยู่เต็มไปหมด นักฟิสิกส์เชื่อว่า ท่ามกลางความยุ่งเหยิงและการเคลื่อนที่อย่างไม่เป็นระบบระเบียบของของเหลว และก๊าซทั้งหลายนั้น จะต้องมี "กฏ" บางอย่างที่สามารถอธิบายและพยากรณ์การเคลื่อนที่ที่ดูประหนึ่งว่าไม่มีทิศ ทางนั้นได้ คำตอบของ Navier-Stokes Equations จะเป็นที่มาของกฏนั้น

คน ที่เรียนวิศวะและฟิสิกส์ในมหาวิทยาลัย อาจจะเคยเรียนวิชา fluid mechanics และปวดหัวกับการแก้ differential equation เพื่อหาอัตราการกระจายตัวของของเหลวหรือก๊าซมาแล้ว ในทำนองเดียวกัน Navier-Stokes Equations เป็นสมการดิฟฟีเรนเชียลที่อธิบายการเคลื่อนที่ของของไหล แต่มีเงื่อนไขมากมายและเขียนใหม่ได้หลายรูปแบบ จะอย่างไรก็ดี หนึ่งในสมการหลักๆก็คือคำถามที่สี่ก็คือ Navier-Stokes Equations มีคำตอบหรือไม่

จน ถึงทุกวันนี้ แม้แต่ในเงื่อนไขที่ง่ายที่สุด ก็ยังไม่มีใครสามารถหาคำตอบของสมการดังกล่าวได้ ไม่มีใครสามารถบอกได้ว่าคำตอบมีหรือไม่มี และไม่มีใครสามารถบอกได้ว่าถ้ามีคำตอบ คำตอบนั้นจะมีคุณสมบัติอะไรบ้าง ในความเป็นจริงแล้ว คำตอบของ Navier-Stokes Equations มีความจำเป็นในการสร้างรถเรือและเครื่องบินที่มีความเร็วสูง นักวิศวกรจึงต้องอาศัยคอมพิวเตอร์หาคำตอบตามสถานการณ์เป็นครั้งๆไปNavier-Stokes Equations เป็นประหนึ่งน้องๆของทฤษฏีแห่งความยุ่งเหยิง คำตอบของสมการนี้จะเป็นประโยชน์อย่างมหาศาล กระแสน้ำและคลื่นลมจะได้รับการ อธิบาย การพยากรณ์อากาศจะแม่นยำมาก ระบบเตือนซึนามิและพายุจะมีประสิทธิภาพเพิ่มขึ้น จะมีรถและเครื่องบินยุคใหม่ แม้แต่ในวงการแพทย์ก็จะเข้าใจระบบไหลเวียนโลหิตดีขึ้น

5.Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture

irch and Swinnerton-Dyer Conjecture เป็นปัญหาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์เกี่ยวกับสมการหลายตัวแปรที่ต้องการคำตอบเป็น จำนวนเต็ม สมการที่ดูเหมือนง่ายๆนั้น ในบางกรณีก็ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม อย่างเช่น ไม่มีจำนวนเต็ม x และ y ใดๆ ที่ทำให้  หรือที่โด่งดังกว่านั้นก็คือสมการ  สำหรับ n มากกว่า 2 ที่รู้จักกันในนาม Fermat's last theorem หรือ ทฤษฎีบทสุดท้ายของเฟอร์มาต์

ก่อน ที่เฟอร์มาต์จะเสียชีวิต เขาได้ทิ้งมรดกชิ้นสำคัญไว้ให้กับนักคณิตศาสตร์รุ่นหลังชิ้นหนึ่ง นั่นคือสมุดบันทึกสูตรและบทพิสูจน์ต่างๆที่เขาค้นพบในช่วงยังมีชีวิต Fermat's last theorem เป็นทฤษฎีบทสุดท้ายในสมุดบันทึกเล่มนั้น น่าเสียดาย เฟอร์มาต์ไม่ได้ทิ้งบทพิสูจน์ไว้ บอกเพียงแต่ว่าหน้ากระดาษไม่พอเขียนเท่านั้น แต่ผลปรากฏก็คือว่า ในยุคนั้นไม่มีใครเติมเต็มชิ้นส่วนที่หายไปนี้ได้ ทฤษฎีบทสุดท้ายของเฟอร์มาต์เป็นปัญหาคาใจของเหล่านักคณิตศาสตร์อยู่หลายชั่ว อายุคน

เวลาผ่านไปร่วมสามร้อยปี จนในปี 1994 Andrew Wiles ก็สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของเฟอร์มาต์ได้ โดยพิจารณาสมการ ด้วยความเป็นกราฟ และเรียกชื่อกราฟนั้นว่า elliptic curve และก็ด้วยเหตุนี้เอง elliptic curve จึงเป็นที่สนใจของบรรดาเหล่านักคณิตศาสตร์ และเป็นกุญแจสำคัญของ Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture

คำถามที่ห้านี้ถามว่า ถ้า ให้ C เป็น elliptic curve, L(C,s) เป็น L-series ของ C, และ r เป็น rank ของ C บนจำนวนตรรกยะแล้วจะได้ว่า เทอมที่น้อยที่สุดจากการกระจาย L(C,s) ที่ s=1 ก็คือ

6.Yang-Mills Theory

เป็นความจริงที่ว่าฟิสิกส์ขาดคณิตศาสตร์ไม่ได้ ถ้าไอน์สไตน์พูดแต่เพียงปากเปล่าว่าสสารก็คือพลังงาน และพลังงานก็คือสสาร แต่ไม่สามารถสรุปสมการ ออกมาได้ ทุกวันนี้เราก็อาจจะยังหัวเราะเยาะให้กับความคิดที่ว่าสสารแปลรูปเป็นพลังงานได้

นิ วตันรู้ตัวว่างานของเขาต้องการเครื่องมือบางอย่างจากคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นเครื่องมือที่นักคณิตศาสตร์ในยุคนั้นไม่เคยคิดถึง ไม่สนใจ และไม่รู้จัก นิวตันจึงต้องประดิษฐ์เครื่องมือนั้นขึ้นมาเอง เครื่องมือนั้นได้ถูกเรียกว่า "แคลคูลัส" ซึ่งต่อมาก็ได้ถูกโอนเข้าสู่มือนักคณิตศาสตร์ ได้รับการวางรากฐานตามแบบฉบับของคณิตศาสตร์อย่างที่เห็นกันทุกวันนี้

แม้แต่ในยุคนี้สถานการณ์เดิมๆก็ไม่ได้หายไปไหน ปัญหาเกิดขึ้นเมื่อทฤษฎีทางฟิสิกส์ไม่มีทฤษฎีทางคณิตศาสตร์รองรับ

Yang กับ Mills เป็นนักควอนตัมฟิสิกส์ที่ค้นพบปรากฏการณ์บางอย่างจากผลการทดลอง และ ยืนยันได้จากการจำลองสถานการณ์ด้วยคอมพิวเตอร์ แต่ Yang กับ Mills ไม่สามารถอธิบายสิ่งที่เขาค้นพบได้ด้วยสิ่งที่คณิตศาสตร์มี ไม่สามารถหาสูตรสำเร็จอย่าง  ออกมาอธิบายสิ่งที่พวกเขาค้นพบได้

ปัญหา ที่มีชื่อว่า Yang-Mills Theory ข้อนี้จึงต่างกับข้ออื่นตรงที่ โจทย์ไม่ได้เป็นคำถามสำเร็จรูปในเชิงคณิตศาสตร์ แต่โจทย์คือการเอาคณิตศาสตร์เข้าไปในที่ที่คณิตศาสตร์ไม่เคยเข้าไป โจทย์ไม่ ได้ถามว่าคำตอบของสมการคืออะไร แต่ถามว่าสมการที่นักฟิสิกส์ต้องการคำตอบคือสมการอะไร เหมือนกับที่ไอน์สไตน์พบสูตรพลังงานกับมวลสาร และเหมือนกับที่นิวตันวางรากฐานให้กับวิชาแคลคูลัส

คำถามที่หกก็คือ ให้วางระบบรากฐานในเชิงคณิตศาสตร์ให้เพียงพอ เพื่อที่จะพิสูจน์ได้ว่า Yang-Mills Theory มีจริง และ mass gap (อนุภาคที่มีคุณสมบัติพิเศษอย่างหนึ่งในควอนตัมฟิสิกส์) มีจริง

7.Hodge Conjecture

ในบรรดาปัญหาทั้งเจ็ด Hodge Conjecture เป็นปัญหาที่เข้าใจยากที่สุดและอธิบายยากที่สุด แต่ทั้งนี้ไม่ได้เป็นเพราะ ว่า Hodge Conjecture ยากกว่าข้ออื่น แต่ Hodge Conjecture เป็นปัญหาเฉพาะทางที่ลงลึกไปในส่วนของคณิตศาสตร์ที่จินตนาการตามได้ยากไอเดียเริ่มต้นก็คือ ถ้าเรานำวัตถุมาทากาวแล้วแปะกันเราก็จะได้รูปทรงใหม่ นักคณิตศาสตร์จึงเริ่มศึกษารูปทรงในหลายมิติที่มาจากการนำรูปทรงที่มีมิติ ต่ำกว่ามาเชื่อมกัน (ฟังแล้วไม่น่าเชื่อ แต่กระดาษแค่ไม่กี่แผ่นแปะกันก็ เกิดเป็นรูปทรงสี่มิติที่ลึกลับซับซ้อนได้ และรูปทรงด้านบนก็เป็นหนึ่งใน ตัวอย่างที่ได้มาจากวิธีการนี้) เทคนิคดังกล่าวนี้ได้ถูกพัฒนาอย่างแพร่หลาย ในทุกๆด้าน จนถึงจุดที่วัตถุที่ถูกนำมาเชื่อมติดกันไม่จำเป็นต้องเป็นรูปทรงอีกต่อ ไป แต่เป็นวัตถุเชิงพีชคณิตที่มีชื่อว่า algebraic cycle วัตถุเชิงพีชคณิตนี้ไม่ได้อยู่ในระบบมิติกว้างยาวสูงที่จับต้องได้ แต่อยู่ในระบบมิติที่มีชื่อว่า projective algebraic variety

คำ ถามที่เจ็ดถามว่า จริงหรือไม่ ที่บน projective algebraic variety บนจำนวนเชิงซ้อน วัตถุใน Hodge class มาจากจากผสมกันแบบเส้นตรงในเชิงตรรกยะของ algebraic cycle

ถึง แม้ว่า บทพิสูจน์ของ Hodge Conjecture อาจจะไม่ได้เป็นประโยชน์กว้างขวางแบบที่วาดภาพตามได้เหมือนปัญหาข้ออื่นๆ แต่การพัฒนาในสาขาวิชานี้จะเป็นประโยชน์ในวงการอุตสาห์กรรม การออกแบบ และภาพยนตร์แอนิเมชั่น

อ้างอิงจาก http://www.vcharkarn.com/varticle/38718